Fermat : un giurista al servizio della matematica
Pierre de Fermat nacque il 20 agosto del 1601 nella città di
Beaumont-de-Lomagne da una famiglia di alta borghesia . Il padre era
un mercante di pellami , la madre apparteneva ad una famiglia di illustri
giuristi . Studiò diritto a Tolosa dove , dopo una breve esperienza di
avvocato , entrò in magistratura raggiungendo la carica di consigliere del
re . Fermat svolse il suo magistero in maniera scrupolosa
e , quando le condizioni glielo consentirono , si dimostrò anche piuttosto
clemente . Tuttavia , come scrisse il matematico inglese Kenelm Digby , in
un processo delicatissimo fu costretto a condannare al rogo un prete che
aveva abusato delle sue funzioni . E questo gli procurò un immenso dolore .Fermat
era considerato uno dei più grandi giureconsulti del suo tempo e parlava
diverse lingue europee , cosa questa che gli consentì una corrispondenza
epistolare con i maggiori matematici suoi contemporanei .Nei ritagli di
tempo libero si dedicava con passione allo studio della matematica,
disciplina che amava intensamente . Fermat non era un accademico o un
matematico di professione , era soltanto un dilettante ; sicuramente era il
<< principe dei dilettanti >> come
lo definì lo storico della matematica Eric Temple Bell . Fermat può essere
considerato uno dei più geniali , originali ed interessanti matematici di
tutti i tempi . Giunse per via geometrica al calcolo dell’integrale della
funzione 
.
Nell’opera << De maximis et minimis
>> introdusse per primo il concetto di derivata . Questi risultati fanno di
Fermat uno dei più importanti precursori del calcolo infinitesimale .
Assieme a Pascal può essere considerato il fondatore della teoria matematica del calcolo delle probabilità .
Prima ancora che Cartesio , con quale intratteneva una corrispondenza epistolare di natura matematica , avesse pubblicato la sua Geometria , aveva scritto un trattato << Ad locos planos et solidos isagoge >> ( introduzione ai luoghi piani e solidi ) , che contiene i moderni fondamenti della geometria analitica .
Questo nuovo ramo della matematica , che Fermat espose nella sua opera senza conoscere le idee di Cartesio , fu elaborato utilizzando metodi sicuramente più moderni ed accessibili di quelli proposti da Cartesio . Alla base della geometria analitica di Fermat sta l’dea che una curva piana può essere rappresentata da una equazione a due incognite . Scrive nella sua brillante ed originale opera : << Quando in una equazione finale compaiono due quantità incognite si ha un luogo , l’estremità dell’una descrivendo una retta o una curva piana >> . Con questa affermazione Fermat intendeva evidenziare la corrispondenza che esiste tra le due variabili e la curva piana che entrambe sono in grado di descrivere . Successivamente introduce gli assi cartesiani scrivendo quanto segue : << Possono essere opportunamente stabilite le equazioni se si prendono due segmenti incogniti ( le cui misure possono essere indicate con x ed y ) formanti un dato angolo ( di norma retto ) ed un estremo (di uno di questi segmenti) si può determinare non appena è considerato dato l’altro >> . Con terminologia moderna possiamo dire che una equazione a due incognite rappresenta una curva piana ; in particolare una equazione di primo grado a due incognite rappresenta una retta , mentre una equazione a due incognite di secondo grado rappresenta una conica .
I contributi di Fermat alla geometria analitica ed
all’analisi infinitesimale non erano che due aspetti del suo grande
interesse per la matematica . Fermat si distinse per originalità ,
completezza e rigore logico nello studio dell ‘ aritmetica razionale , dove
furono notevoli i suoi contributi .Le opere del matematico greco Diofanto
esercitarono un forte fascino su Fermat , che può essere considerato
il fondatore della moderna teoria dei numeri . In particolare si occupò dei
numeri perfetti , dei numeri amicabili, dei numeri figurati , dei quadrati
magici , delle terne pitagoriche , della divisibilità , dei numeri primi .
E’ singolare il fatto che Fermat non pubblicò le sue ricerche : le esponeva
in lettere private indirizzate ai maggiori matematici dell’epoca con cui era
in corrispondenza o le annotava nei margini dei libri che leggeva . Si
dilettava a rileggere le opere complete del matematico greco Diofanto che si
occupava di questioni del genere : << Trovare due numeri interi x ed y tali
che il quadrato di ciascuno di essi aumentato della somma dei due numeri sia
un quadrato >> . Si trattava di risolvere nell’insieme N il seguente sistema
: 
.
Quando Fermat trovava un’affermazione interessante nelle
opere di Diofanto faceva un’annotazione nel margine
del suo libro . Dopo la morte di Fermat , suo figlio Samuele
ebbe la brillante idea di pubblicare un’edizione delle opere di Diofanto con
le annotazioni del padre .Una terna 
di
numeri interi è pitagorica se verifica l’identità
.
Per esempio 
è
una terna pitagorica . Esistono infinite terne pitagoriche ed esistono anche
diverse formule che le generano .Diofanto dimostrò che le terne pitagoriche
possono essere generate dalle seguenti formule :
, 
,
con
m ed n numeri interi ed 
.
Pitagora e Platone avevano trovato :
,
,
che
sono un caso particolare delle formule trovate da Diofanto . Fermat è legato
ad un celebre teorema noto come l’ultimo
teorema di Fermat o il grande
teorema di Fermat . Esso afferma quanto segue : << L’equazione
,
con 
,
non ammette soluzioni intere >> . Su
un margine della sua copia dell’edizione
dell ‘ Arithmetica di Diofanto scrisse di essere riuscito a trovare una
dimostrazione veramente meravigliosa di questo teorema
ma si rammaricava di non poterla trascrivere
in quanto il margine del libro era troppo
stretto per contenerla . In
margine alla sua copia dell ‘ Aritmetica
Fermat annotò questa osservazione : <<
Cubem autem in duos cubos , aut quadratoquadratorum in duos
quadratoquadratos , et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere >> . E’
impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza
come somma di quarte potenze o , in generale , nessun numero che sia una
potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello
stesso valore . Era una affermazione straordinaria , ma che Fermat riteneva
di potere dimostrare . Dopo avere definito la teoria in questa prima nota al
margine , il Principe dei dilettanti scrisse un commento che avrebbe
ossessionato generazioni di matematici .
<< Cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi marginis exiguis non caperet >>
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema
che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina .
La reputazione di Fermat era tale che questa affermazione fu presa con molta
serietà ed i più grandi matematici che lo seguirono cercarono invano di
dimostrarla . Fermat dimostrò il suo teorema per
(
la sua dimostrazione per 
andò
perduta ) . Il teorema fu dimostrato per 
da
Legendre , per 
da
Dirichlet ( 1823 ) , per 
da
Lebesgue ( 1840 ). La congettura di Fermat resistette per tre secoli ,
finché nel 1993 il matematico inglese
Andrew Wiles annunciò di averla dimostrata . Questo annuncio fece
scalpore e fu organizzato un comitato di esperti per verificare la
dimostrazione di Wiles . Uno di questi esperti trovò l’errore . Wiles non si
demoralizzò ed assieme al suo allievo Taylor riuscì a completare i dettagli
tecnici di questa nuova dimostrazione . Questa volta gli esperti del
comitato non trovarono nulla ridire .
Il grande teorema di Fermat era dimostrato , la sfida lanciata da Fermat tre secoli prima vinta . La dimostrazione della congettura di Fermat non ha alcuna applicazione pratica . Tuttavia il lavoro svolto negli ultimi tre secoli per risolvere questo problema ha permesso lo sviluppo di interi settori della matematica i cui frutti si sono già visti e si vedranno , sempre di più , nei prossimi anni . Anche un matematico italiano dice di avere dimostrato il teorema di Fermat , utilizzando metodi elementari identici o simili a quelli utilizzati probabilmente dal Principe dei dilettanti . Si chiama Andrea Ossicini , ha 44 anni ed è di Roma .La dimostrazione proposta , nel caso ne venisse autorevolmente accertata la correttezza , è particolarmente importante in quanto realizzata con metodi elementari e quindi accessibile anche a persone non particolarmente addentro alla Teoria dei Numeri .Mentre Wiles giunse alla sua dimostrazione con la collaborazione di altri insigni matematici , Ossicini vi giunse da solo riportandoci alla matematica epica , quella che ha il profumo dell’esplorazione di un mondo ( il mondo dei numeri ) che non finisce mai di stupire e di affascinare .
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Genio matematico francese di prima grandezza . La sua cultura matematica scaturisce da una profonda conoscenza delle opere dei grandi matematici greci , propiziata da una vasta padronanza delle lingue classiche . Con l’opera << Ad locos planos et solidos isagoge >> può considerarsi il vero inventore della geometria analitica . Può essere considerato il fondatore della moderna teoria dei numeri , del calcolo delle probabilità ed uno dei più validi precursori del calcolo infinitesimale . |
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Conviene ricordare anche il <<
piccolo teorema di Fermat >> che
afferma quanto segue :
Dati due numeri naturali a e p , con p numero primo ed a non
divisibile per p , il numero 
è
divisibile per 7 . Il numero
è
divisibile per 7 . Questo teorema fu dimostrato da Fermat nel
,
da Leibnitz e da Eulero nel 
.
Concludendo possiamo concordare con quanto scritto dallo storico Gino Loria
:
<< ……..Fermat seppe tracciare con mano sicura le linee fondamentali della geometria analitica , creò la teoria dei numeri , contribuì nel modo più fattivo alla costruzione del calcolo infinitesimale , si può affermare che questo magistrato , benché tutto permeato di cultura greco-latina , benché abbia sdegnato di servirsi dell’agile simbolica algebrica creata da Cartesio , merita un posto di prima fila fra i creatori della matematica moderna >> .
Nessun matematico di professione del suo tempo seppe fare meglio di lui che ampliò in maniera significativa gli orizzonti di questa meravigliosa disciplina : la Matematica .
Schettino Simone VB Napoletano Marialuisa VB
Guerriero Pellegrino VB Petrillo Salvatore VB
Bibliografia
01) Boyer : storia della matematica pag. 398 + 401 + 406 + 408
02) Loria : storia delle matematiche pag. 474
03) Enciclopedia delle matematiche elementari Volume terzo Parte seconda Pag 688 + 736
04) Enciclopedia Treccani
05) Cateni Bernardi Maracchia Geometria analitica Pag. 257
06) Cateni Bernardi Maracchia Elementi di algebra Vol 2 Pag. 280
07) Quaderni del Periodico di matematiche N° 1 Brunno Rizzi
08) Problemi di gare matematiche Pag. 93