EVARISTO GALOIS

Il contadino e Belzeb¨

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Il   Contadino   e   Belzeb¨

 

Un contadino deve recarsi in cittÓ per pagare le tasse ma possiede soltanto la metÓ della somma richiesta . Disperato , si mette in cammino  in compagnia del suo somaro , senza sapere come risolvere il suo problema . Lungo  il  percorso  che  lo  porta in cittÓ imbocca un ponte che consente di attraversare  un fiume . Lý lo aspetta Belzeb¨ che , conoscendo la sua disperazione , gli propone quanto segue : << Io ti raddoppier˛ la somma che possiedi se dopo ogni passaggio sul ponte butterai nel fiume  denari >>  Il contadino accetta lĺofferta sicuro di poterla fare in barba a Belzeb¨ ed inizia il suo attraversamento del ponte . Dopo il primo passaggio  si accorge che la somma da lui posseduta Ŕ raddoppiata e quindi butta gi¨ dal ponte  denari . Torna indietro e ripete lĺoperazione pi¨ volte . Dopo un certo numero di passaggi si accorge che la sua tasca Ŕ vuota . Deluso per essere stato turlupinato e forse attratto dalla vana illusione di recuperare quanto aveva lanciato gi¨ dal ponte si butta fra le gelide acque del fiume . La storiella finisce qui e non sappiamo se lĺingenuo contadino sia riuscito a recuperare i denari buttati dal ponte con i quali sicuramente avrebbe pagato le tasse e qualcosĺaltro. A noi non Ŕ dato sapere se il contadino sia riuscito a recuperare  i denari buttati dal ponte con i quali avrebbe sicuramente pagato le tasse senza rimanere allĺasciutto , ma sicuramente possiamo conoscere : 1) quanti denari aveva quando , tutto pimpante , cominci˛ ad attraversare il ponte  2) quanti denari butt˛ gi¨ dal ponte .

 

 

SOLUZIONE

 

Indichiamo con x i denari posseduti dal contadino quando inizi˛ lĺattraversamento del ponte e con  i denari posseduti dal contadino dopo k passaggi sul ponte ed il relativo versamento pattuito con Belzeb¨ .

 

 

            

              

 Ŕ un numero intero positivo , quindi anche     deve essere un numero intero positivo e questo si verifica se :   ,    ,      ,      ,  

Costruiamo la seguente tabella :

 

x

k

31

5

160

0

30

4

128

0

28

3

96

0

24

2

64

0

16

2

1

32

0

 

Se con  denotiamo la somma complessivamente buttata dal contadino dopo k passaggi , come pattuito con Satana , con tutta probabilitÓ il contadino aveva con sÚ  denari per cui possiamo dedurre che attraversa il ponte 5 volte e butta nel fiume  denari ( una bella somma che giustificherebbe il tuffo del contadino nelle gelide acque del fiume ) .

Come improbabile alternativa abbiamo :

  ,    , 

  ,    , 

 

 

 

 

 

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