Rafael Bombelli

Nacque a Bologna nel 1526. Il padre, Antonio Mazzoli (che in seguito si fece cambiare cognome) apparteneva una famiglia abbastanza influente nell’ambiente politico bolognese di fine ‘400- inizio ‘500 ed era vicina alle posizioni della famiglia Bentivoglio, i signori di Bologna; la famiglia fu però costretta all’esilio quando papa Giulio II prese possesso della città, cacciando i Bentivoglio; ma nonostante ciò, tanto Antonio, quanto il figlio Rafael dopo alcuni anni poterono ritornare a Bologna, dove trascorsero tranquillamente le loro vite. Non si sa quale fu la formazione del giovane Rafael, ma si sa per certo che non ricevette una educazione universitaria. Fu piuttosto l’architetto Pier Francesco Clementi ad avviare il giovane allo studio della matematica e dell’ingegneria, ed è probabilmente seguendo le ombre del maestro che Bombelli intraprenderà la carriera di ingegnere.

Nel 1548 venne affidata dal Cardinale Alessandro Ruffini a Pier Francesco Clementi la costruzione della Camera Apostolica a Foligno, lavoro per il quale il famoso architetto decise di portare con se il giovane allievo Rafael in qualità di apprendista.

Durante i lavori, fu necessario bonificare le paludi del fiume Topino; è probabile che fu lo stesso Clementi ad occuparsi del lavoro, mentre Bombelli si limitò ad accumulare quell’ esperienza che gli sarebbe tornata utile poco dopo.

Infatti, nel 1549 lo stato Pontificio reclamava e annetteva i territori della Val di Chiana: si tratta di un territorio posto in una regione impervia, tra il Tevere e l’Arno, sull’ Appennino Toscano; il Cardinale Alessandro Ruffini, il protettore di Bombelli e di Clementi, decise di affidare il difficile compito di bonifica al giovane ingegnere bolognese, il quale riuscì a portare brillantemente il lavoro, mettendosi in mostra per le sue qualità di ingegnere idraulico. Questo progetto lo impegnò fino al 1560, anche a causa  di difficoltà tecniche che richiesero più volte una sospensione dei lavori, e fu in questo periodo che Bombelli iniziò a scrivere la sua opera fondamentale, l’Algebra.

La sua fama di grande ingegnere idraulico gli valse numerosi altri incarichi, come la riparazione del ponte di Santa Maria sul Tevere. Questo compito non venne mai portato a termine perché presentava troppe difficoltà; ma nonostante il fallimento, dopo poco tempo papa Pio IV decise di affidare a Bombelli la bonifica di un’altra zona paludosa, le Paludi Pontine, una zona dove la malaria impazzava già dai tempi dell’Impero Romano. Bombelli fallì anche questo compito, ma d’altronde c’era da aspettarselo, visto che le Paludi vennero bonificate con successo solo nel 1928.

In questi anni, Bombelli si dedicò con molta passione alla matematica: grazie anche al ritrovamento di un testo di Diofanto, ampliò considerevolmente e finalmente pubblicò la sua opera “l’Algebra”, già in cantiere da diversi anni, anche se a causa della sua morte non riuscì a completare le ultime due parti dell’opera, quelle cioè sulla geometria. Il contenuto di questa opera è importantissimo, e tra poco vedremo perché. Per molti anni il lavoro di Bombelli venne considerato un testo universitario, e costituì un importante punto di partenza per lo sviluppo dell’algebra simbolica. Per primo utilizzo le parentesi nelle formule e nelle equazioni algebriche e si rese conto che esiste una connessione tra la soluzione delle equazioni di terzo grado e i problemi classici della duplicazione del cubo e della trisezione dell’angolo. Per primo, Bombelli iniziò a lavorare con i numeri relativi, e scrisse le regole per moltiplicare e dividere numeri positivi e negativi: più per meno fa meno, più per più fa più. Di queste regole Bombelli da anche una dimostrazione geometrica. Ma non è tanto questa la grande innovazione di Bombelli, quanto piuttosto l’introduzione dei numeri complessi, che indico con “più di meno” (+i) e “meno di meno” (-i)  e abbreviati in pdm e mdm; ad esempio, con: Rc2 pdm11 Bombelli intendeva  .

Ma non si fermò qui: stabilì infatti che

 Insomma, stabilì le regole formali di calcolo coi nuovi numeri, che in seguito verranno definiti  immaginari da Cartesio.

Ma per quale motivo Bombelli aveva introdotto questi numeri? Se erano davvero immaginari, dunque fittizi ed irreali, che bisogno c’era di ipotizzarne l’esistenza?

Per capirlo, bisogna fare un breve excursus nella situazione storica in cui Bombelli si trovò inserito, ovviamente dal punto di vista matematico.

In quegli anni, uno dei problemi matematici che maggiormente impegnava gli studiosi di tutto il mondo era la risoluzione delle equazioni di terzo grado. Trovare una formula che permettesse di risolvere generiche equazioni di terzo grado era una sfida che aveva appassionato i maggiori matematici di tutti i tempi, sin dai tempi dei Babilonesi e degli Egizi; il grande matematico Archimede era riuscito a risolvere alcune equazioni di questo tipo, ma non aveva trovato un procedimento generale.

Intorno al 1500, un professore di matematica all’università di Bologna, Scipione dal Ferro, era riuscito a trovare un procedimento per risolvere le equazioni del tipo   ma non pubblicò il procedimento per poterlo usare nelle disfide matematiche tanto di moda a quei tempi.  In punto di morte, Scipione rivelò la sua scoperta ad un suo allievo, Antonio Maria Fior.  Contemporaneamente, anche Niccolò Fontana, detto Tartaglia, riuscì a risolvere da solo lo stesso tipo di equazione. Venne organizzata così una sfida tra i due, che Tartaglia vinse brillantemente.

La notizia della vittoria di Tartaglia raggiunse un altro brillante matematico del tempo, Girolamo Cardano, che, dopo molte insistenze, riuscì a farsi rivelare la tanto agognata formula, e la pubblicò nel 1545 nella sua Ars Magna. Le formule proposte da Cardano, espresse col simbolismo moderno, sono due:

        per p>0

          per p<0

 Ma a volte capita che l’espressione  sia negativa, e che quindi ci si trova nella necessità di estrarre la radice quadrata di un numero negativo; ci si trova così davanti ad una equazione che non ammette soluzioni. Ma in alcuni casi, capita anche di trovarsi davanti ad una radice di un numero negativo  anche se l’equazione ammette delle radici reali. E’ il caso dell’equazione , che ha come soluzione . Applicando la formula di Cardano si ha infatti , soluzione che non poteva essere accettata ai tempi di Cardano.

Bombelli ebbe la brillante idea di sostituire 11i a  e dimostrò che  e quindi ottenne . Con l’introduzione dei numeri complessi, Bombelli aveva finalmente svolto la teoria completa delle equazioni di terzo grado, implementando le solo parziali risoluzioni di Cardano, Tartaglia e Scipione dal Ferro.

Tutte queste grandi scoperte collocano di diritto Rafael Bombelli nell’Olimpo dei grandi algebristi italiani del XVI secolo, ma prima di concludere esaminiamo uno dei tanti problemi risolti da Bombelli, che anticipa il lavoro di molti matematici nel campo delle frazioni continue e della soluzione approssimata delle equazioni.

Vogliamo calcolare il valore approssimato di  con un procedimento che ci permetta di stabilire il numero di cifre decimali che ci interessano. Sappiamo per certo che il quadrato perfetto che più si avvicina a 13 è 9, la cui radice è 3. Per questo possiamo scrivere che  .

Eleviamo ambo i membri al quadrato:

 Dunque, sappiamo che . Se imponiamo che la x del secondo membro sia 0, abbiamo che . Ma se andiamo a sostituire nella stessa equazione al secondo membro il valore di x, cioè tutto il secondo membro, abbiamo che .

Imponiamo di nuovo che la x al secondo membro sia 0, e otteniamo .

Possiamo ripetere questo procedimento all’infinito, ottenendo vari numeri come soluzione ( eccetera), ognuno dei quali è sempre più vicino al vero valore della parte decimale di . Se, ad esempio, calcoliamo la frazione sostituendo 10 volte, avremo , che paragonato col vero valore della parte decimale di , ci mostra come siano 11 le cifre esatte.

Questo ci permette di calcolare il valore di  con quanta precisione si vuole.

Dario Ambrosone

Giuseppe Di Bella

Generoso Coscia

Emanuel Romano

Italo De Falco

Bibliografia

L'opera contiene tutti i problemi trattati dal grande matematico alessandrino Diofanto ed i primi tre libri trattano in maniera mirabile di algebra con particolare riferimento alle equazioni di terzo e quarto grado .

Bombelli è famoso anche per una sua pregevole opera di idraulica relativa al prosciugamento delle paludi in Val di Chiana .

Si rende conto che esiste un diretta connessione tra la risoluzione delle equazioni di terzo grado ed i problemi classici della duplicazione del cubo e della trisezione dell'angolo .

Bisogna uscire dal mondo del reale ed incamminarsi in quello dell'immaginario .  Bombelli ebbe la brillante idea , che egli stesso definì assurda , di introdurre un numero il cui quadrato era uguale ad -1 . Introdusse l'unità immaginaria "+i" che chiamò " più di meno " e che indicò col simbolo "p.d.m.

Successivamente introdusse i numeri immaginari , i numeri complessi ed elaborò l'algebra dei numeri complessi .

La scoperta fu talmente sconvolgente che ci volle del tempo prima che fossero da tutti accettati e ciò accadde due secoli più tardi , quando ci furono tre matematici celebri che , quasi contemporaneamente, ne diedero una rappresentazione geometrica . I matematici in questione sono il norvegese Gaspar Wessel ( 1745-1818 ) , lo svizzero Jean Robert Argand ( 1768-1822) ed il tedesco Carl Friedrich Gauss ( 1777-1855) detto il " princeps mathematicorum "